Question

8．已知二次函数f（x）=x²-2x+3．
（1）当x∈[-2，0]时，求f（x）的最值；
（2）当x∈[-2，3]时，求f（x）的最值；
（3）当x∈[t，t+1]时，求f（x）的最小值g（t）．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数f（x）=x²-2x+3的图象和性质，分析当x∈[-2，0]时，函数的单调性，进而可得f（x）的最大值、最小值；
（2）根据二次函数f（x）=x²-2x+3的图象和性质，分析当x∈[-2，3]时，函数的单调性，进而可得f（x）的最大值、最小值；
（3）先将函数f（x）进行配方，得到对称轴，然后讨论对称轴与区间[t，t+1]的位置关系，从而得到最小值和最大值．

解答 解：f（x）=（x-1）²+2，对称轴x=1，
（1）当x∈[-2，0]时，f（x）递减，
∴f（x）_max=f（-2）=11，f（x）_min=f（0）=3；
（2）当x∈[-2，3]时，f（x）在[-2，1]递减，在（1，3]递增，
∴f（x）_max=f（-2）=11，f（x）_min=f（1）=2；
（3）当t＞1时，f（x）在[t，t+1]上是增函数，
∴当x=t时，函数取最小值t²-2t+3，
当$\frac{1}{2}$≤t≤1时，
当x=1时，函数取最小值2，
当0≤t＜$\frac{1}{2}$时，
当x=1时，函数取最小值2，
当t+1＜1，即t＜0时，f（x）在区间[t，t+1]上是减函数，
当x=t+1时，函数取最小值t²+2．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．