题目内容

精英家教网如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明PA∥平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C-PB-D的大小．
分析：法一：（1）连接AC，AC交BD于O，连接EO要证明PA∥平面EDB，只需证明直线PA平行平面EDB内的直线EO；
（2）要证明PB⊥平面EFD，只需证明PB垂直平面EFD内的两条相交直线DE、EF，即可；
（3）必须说明∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，然后求二面角C-PB-D的大小．
法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a．
（1）连接AC，AC交BD于G，连接EG，求出
PA
=2
EG
，即可证明PA∥平面EDB；
（2）证明EF⊥PB，
PB
•
DE
=0，即可证明PB⊥平面EFD；
（3）求出
FE
•
FD
=
a2
9
-
a2
18
+
a2
9
=
a2
6
，利用cosEFD=
FE
•
FD
|
FE
||
FD
|
，求二面角C-PB-D的大小．
解答：精英家教网解：方法一：
（1）证明：连接AC，AC交BD于O，连接EO．
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点
在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO
而EO?平面EDB且PA?平面EDB，
所以，PA∥平面EDB

（2）证明：
∵PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD，∴PD⊥DC
∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，
∴DE⊥PC．①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．
而DE?平面PDC，∴BC⊥DE．②
由①和②推得DE⊥平面PBC．
而PB?平面PBC，∴DE⊥PB
又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD．

（3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角．
由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB．
设正方形ABCD的边长为a，
则PD=DC=a，  BD=
2
aPB=
PD2+BD2
=
3
a，PC=
PD2+DC2
=
2
aDE=
1
2
PC=
2
2
a．
在Rt△PDB中，DF=
PD•BD
PB
=
a•
2
a
3
a
=
6
3
a．
在Rt△EFD中，sinEFD=
DE
DF
=
2
2
a
6
3
a
=
3
2
，∴∠EFD=
π
3
．
所以，二面角C-PB-D的大小为
π
3
．
精英家教网方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a．
（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG．
依题意得A(a，  0，  0)，  P(0，  0，  a)，  E(0，  
a
2
，  
a
2
)．
∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为(
a
2
，  
a
2
，  0)且
PA
=(a，  0，  -a)，  
EG
=(
a
2
，  0，  -
a
2
)．
∴
PA
=2
EG
，这表明PA∥EG．
而EG?平面EDB且PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB．

（2）证明；依题意得B（a，a，0），
PB
=(a，  a，  -a)．
又
DE
=(0，  
a
2
，  
a
2
)，故
PB
•
DE
=0+
a2
2
-
a2
2
=0．
∴PB⊥DE．
由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD．

（3）解：设点F的坐标为（x0，y0，z0），
PF
=λ
PB
，则（x0，y0，z0-a）=λ（a，a，-a）．
从而x0=λa，y0=λa，z0=（1-λ）a．所以
FE
=(-x0，  
a
2
-y0，  
a
2
-z0)=(-λa，( 
1
2
-λ)a，  (λ-
1
2
)a)．
由条件EF⊥PB知，
FE
•
PB
=0，即-λa2+(
1
2
-λ)a2-(λ-
1
2
)a2=0，解得λ=
1
3

∴点F的坐标为(
a
3
，  
a
3
，  
2a
3
)，且
FE
=(-
a
3
，  
a
6
，  -
a
6
)，
FD
=(-
a
3
，  -
a
3
，  -
2a
3
)
∴
PB
•
FD
=-
a2
3
-
a2
3
+
2a2
3
=0
即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角．
∵
FE
•
FD
=
a2
9
-
a2
18
+
a2
9
=
a2
6
，且|
FE
|=
a2
9
+
a2
36
+
a2
36
=
6
6
a，|
FD
|=
a2
9
+
a2
9
+
4a2
9
=
6
3
a，
∴cosEFD=
FE
•
FD
|
FE
||
FD
|
=
a2
6
6
6
a•
6
3
a
=
1
2
．
∴∠EFD=
π
3
．
所以，二面角C-PB-D的大小为
π
3
．
点评：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．
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2
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