Question

14．若f（x）=$\frac{{a}^{x}-{a}^{-x}}{{a}^{x}+{a}^{-x}}$（0＜a＜1）．
（1）求f（x）的定义域、值域；
（2）判断并证明f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）定义域显然看出为R，将f（x）变成：f（x）=$1-\frac{2}{{a}^{2x}+1}$，根据a^2x的范围便可求出$\frac{1}{{a}^{2x}+1}$的范围，从而得出f（x）的范围，即f（x）的值域；
（2）x增大时，可以得出f（x）减小，从而f（x）为减函数，可用减函数的定义证明：设任意的x₁＜x₂，然后作差，通分，根据指数函数的单调性及指数函数的值域证明f（x₁）＞f（x₂）即可得出f（x）在R上单调递减．

解答 解：（1）a^x+a^-x＞0恒成立；
∴f（x）的定义域为R；
$f（x）=\frac{{a}^{2x}-1}{{a}^{2x}+1}=1-\frac{2}{{a}^{2x}+1}$；
a^2x＞0；
∴a^2x+1＞1，$0＜\frac{1}{{a}^{2x}+1}＜1$；
∴-1＜f（x）＜1；
∴f（x）的值域为（-1，1）；
（2）0＜a＜1，∴x增大时a^2x减小，∴f（x）减小，∴该函数在R上是减函数，证明如下：
设x₁＜x₂，则：f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{a}^{2{x}_{2}}+1}-\frac{2}{{a}^{2{x}_{1}}+1}=\frac{2（{a}^{2{x}_{1}}-{a}^{2{x}_{2}}）}{（{a}^{2{x}_{1}}+1）（{a}^{2{x}_{2}}+1）}$；
∵0＜a＜1，x₁＜x₂；
∴${a}^{2{x}_{1}}＞{a}^{2{x}_{2}}$；
∴${a}^{2{x}_{1}}-{a}^{2{x}_{2}}＞0$；
又${a}^{2{x}_{1}}＞0，{a}^{2{x}_{2}}＞0$；
∴$\frac{2（{a}^{2{x}_{1}}-{a}^{2{x}_{2}}）}{（{a}^{2{x}_{1}}+1）（{a}^{2{x}_{2}}+1）}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在R上单调递减．

点评 考查函数定义域、值域的概念，指数函数的值域，根据不等式的性质求值域，减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂）．