题目内容
【题目】已知椭圆
： 
的离心率为
，且过点
．若点
在椭圆
上，则点
称为点
的一个“椭点”．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）若直线
： 
与椭圆
相交于
， 
两点，且
， 
两点的“椭点”分别为
， 
，以
为直径的圆经过坐标原点，试求
的面积．
【答案】（1）
；（2）
．
【解析】试题分析：(1) 由
,用
表示
，将点
代入椭圆方程可求出
的值，从而求出
的值，得到椭圆的方程；(2) 设
，则
，由以
为直径的圆经过坐标原点，得
即
，将直线方程代入椭圆方程，由根与系数关系得到
，代入关系式
得到
与
的关系式
，再求出弦长
与点
到直线
的距离，即可求得三角形
的面积.
试题解析： （Ⅰ）由
，得
，………………（1分）
又
，………………（2分）
椭圆
，
因点
在
上， 
，得
，…………（3分）
，………………（4分）
所以椭圆
的方程为： 
；…………（5分）
（Ⅱ）设
，则
，
由以
为直径的圆经过坐标原点，得
，
即
（1）………………（6分）
由
，消除
整理得： 
，
由
，得
，
而
（2）………………（7分）
（3）
将（2）（3）代入（1）得： 
，
即
，………………（8分）
又
，………………（9分）
原点
到直线
的距离
，………………（10分）
，………………（11分）
把
代入上式得
，即
的面积是为
.………………（12分）
【题目】2015年12月，京津冀等地数城市指数“爆表”，北方此轮污染为2015年以来最严重的污染过程，为了探究车流量与
的浓度是否相关，现采集到北方某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与
的数据如表：
时间 | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 | 星期六 | 星期七 |
车流量 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 28 | 30 | 35 | 41 | 49 | 56 | 62 |
（1）由散点图知
与
具有线性相关关系，求
关于
的线性回归方程；
（2）（i）利用（1）所求的回归方程，预测该市车流量为8万辆时
的浓度；
（ii）规定：当一天内
的浓度平均值在
内，空气质量等级为优；当一天内
的浓度平均值在
内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量在多少万辆以内？（结果以万辆为单位，保留整数）
参考公式：回归直线的方程是
，其中
， 
.
