Question

甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为

1

2

、

1

3

、p，且他们是否破译出密码互不影响，若三人中只有甲破译出密码的概率为

1

4

．
（1）求p的值．
（2）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．

Answer 1

（1）记事件A为“只有甲破译出密码”，
则P(A)=

1

2

×(1-

1

3

)×(1-p)=

1

4

，可解得p=

1

4

．
（2）X的可能取值为0、1，、2、3；
P(X=0)=(1-

1

2

)×(1-

1

3

)×(1-

1

4

)=

1

4

；P(X=1)=

1

2

×(1-

1

3

)×(1-

1

4

)+(1-

1

2

)×

1

3

×(1-

1

4

)+(1-

1

2

)×(1-

1

3

)×

1

4

=

11

24

；P(X=2)=

1

2

×

1

3

×(1-

1

4

)+

1

2

×(1-

1

3

)×

1

4

+(1-

1

2

)×

1

3

×

1

4

=

1

4

；
P(X=3)=

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

24

．

X	0	1	2	3
P	1 4	11 24	1 4	1 24

E(X)=0×

1

4

+1×

11

24

+2×

1

4

+3×

1

24

=

13

12

．