Question

设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f(x)=

a

x

-x2（a为实数）．
（1）若f(

1

2

)=-2，求a的值；
（2）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；
（3）当a＞2时，试判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）是奇函数，可得f(-

1

2

)=-f(

1

2

)=2，解方程求得a的值．
（2）设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），故有 f(-x)=-

a

x

-x2，根据奇函数的定义解出f （x）．
（3）当a＞2时，f（x）在（0，1]上单调递减，设x₁，x₂∈（0，1]且x₁＜x₁，可证得f（x₁）-f（x₂）＞0，
可得结论成立．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f(-

1

2

)=-f(

1

2

)=2∴-2a-

1

4

=2，∴a=-

9

8

．
（2）设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），∴f(-x)=-

a

x

-x2，∵f （x）是奇函数，
∴f（-x）=f（x），∴f(x)=

a

x

+x2．
（3）当a＞2时，f（x）在（0，1]上单调递减．
证明：设x₁，x₂∈（0，1]且x₁＜x₂，
 则   f(x1)-f(x2)=(

a

x1

+x12)-(

a

x2

+x22)=a(

1

x1

-

1

x2

)+(x12-x22)=

x1-x2

x1x2

•[x1x2•(x1+x2)-a]，
∵x₁，x₂∈（0，1]，∴

x1-x2

x1x2

＜0，x₁x₂•（x₁+x₂）∈（0，2），
当a＞2时，x₁x₂•（x₁+x₂）-a＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴当a＞2时，f（x）在（0，1]上单调递减．

点评：本题考查奇函数的定义，函数单调性的定义和证明方法，求函数的解析式是解题的难点，属于中档题．