Question

【题目】如图所示的多面体ABCDEF满足：正方形ABCD与正三角形FBC所在的两个平面互相垂直，FB∥AE且FB＝2EA.

（1）证明：平面EFD⊥平面ABFE；

（2）若AB＝2，求多面体ABCDEF的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由已知求解三角形可得，由面面垂直的性质可得平面，证明平面平面，则平面，得到．再由线面垂直的判定可得平面，从而得到平面平面；

（2）连接，则多面体分为四棱锥和三棱锥．分别求出四棱锥与的体积，则多面体的体积可求．

（1）证明：由题意可得，四边形ABCD是正方形且三角形FBC是正三角形，

∴BC∥AD，BC＝AD，FB＝BC，∠FBC＝60°，

又∵FB∥AE且FB＝2EA，

∴∠EAD＝60°，

在△EAD中，设EA＝a，则AD＝2a，又∠EAD＝60°，

由余弦定理得：.

∵DE2+AE2＝AD2，

∴ED⊥AE，

∵平面ABCD⊥平面FBC，AB⊥BC，平面ABCD∩平面FBC＝BC，且AB平面ABCD，

∴AB⊥平面BCF，

∵BC∥AD，EA∥FB，FB∩BC＝B，且FB，BC平面FBC，

EA，AD平面EAD，

∴平面EAD∥平面FBC，则AB⊥平面EAD.

又∵ED平面EAD，

∴AB⊥ED.

综上，ED⊥AE，ED⊥AB，EA∩AB＝A，且EA，AB平面ABEF，

∴DE⊥平面ABEF，

又∵DE平面DEF，

∴平面EFD⊥平面ABFE；

（2）连接BD，

则多面体ABCDEF分为四棱锥D﹣ABFE和三棱锥D﹣BCF.

由（1）可得，ED⊥平面ABFE，

∴.

由（1）可得AB⊥平面BCF，又CD∥AB，

∴CD⊥平面BCF，

∴.

综上，.