题目内容
【题目】已知函数
．
（1）求函数
的单调区间；
（2）已知
且
，若函数没有零点，求证：
．
【答案】(1)见解析 (2)证明见解析
【解析】
(1)求导后分
和
两种情况进行讨论即可.
(2)由题函数
没有零点,转换为
与
在
无交点,再求导分析
的单调性与最值,进而求得
的取值范围.再代入
,构造函数分析单调性与最值证明即可.
解法一：（1）
当时，令
得
或
；
令
得
．
∴函数的单调递增区间为
和
，
单调递减区间为
当时，令得；
令得或．
∴函数的单调递增区间为，
单调递减区间为和.
综上所述,当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.
（2）函数在时无零点，即
在无解
则与在无交点
，在上单调递增
，∴
则
由（1）得在上单调递增
要证
即证 
即证 
即证 
令
在时单调递增，
所以原不等式成立．
解法二：（1）同解法一
（2）函数在时无零点，即在无解
则与在无交点
，在上单调递增
，∴
则
要证，
即证，
即证
因为
，
所以只需证 
，
即证 
，
令 
，
在时单调递增，
，
所以原不等式成立．
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