Question

【题目】已知有穷数列共有项，首项,设该数列的前项和为，且其中常数.

（1）求证：数列是等比数列

（2）若，数列满足，求出数列的通项公式

（3）若（2）中的数列满足不等式，求出的值

Answer 1

【答案】（1）证明见解析

（2）

（3）

【解析】

（1）利用分类讨论的思想，分别对时和时进行讨论，求得与的关系，即可求解；

（2）结合（1）的结论和条件得的表达式，对进行化简，结合对数运算即可求得数列的通项公式；

（3）利用分类讨论对的大小进行判断，再结合不等式去绝对值，变形得关于的不等式，即可求解．

（1）当时，，则；

当时，，，

，

，

数列是等比数列．

（2）由（1）得，

，

，

（3）设，解得，又是正整数，于是当时，；

当时，．

原式

．

当，得，，又，

当，3，4，5，6，7时，

原不等式成立．