题目内容
4．
为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建，已知原公园是直径为200米的半圆形，出入口在圆心O处，A为居民小区，OA的距离为200米，按照设计要求，以居民小区A和圆弧上点B为线段向半圆外作等腰直角三角形ABC（C为直角顶点），使改造后的公园成四边形OACB，如图所示．（1）若OB⊥OA时，C与出入口O的距离为多少米？
（2）B设计在什么位置时，公园OACB的面积最大？
分析 （1）当OA⊥OB时，作CE⊥OB，垂足为E，得到四边形OADE是矩形，利用矩形的性质得到△ACD≌△BCE，由此得到关于BE的等式，得到OE长度，求得OC；
（2）设∠AOB=α，利用余弦定理得到以及三角形的面积公式得到关于α的面积表达式，结合三角函数求最值．
解答 解：当OA⊥OB时，如图1，
作CE⊥OB，垂足为E，则四边形OADE是矩形，
∴DE=OA=200，
∵等腰直角三角形ABC，∠ACB=90°，
∴AB=BC，∠ACD+∠BCE=∠ACD+∠CAE=90°，
∴∠BCE=∠CAD，∴△ACD≌△BCE，∴AD=CE，CD=DE，
设BE=x，则CD=x，∴AD=OE=OB+BE=100+x，又AD=CE=DE-CD=200-x，
∴100+x=00-x，解得x=50，
∴OC=$\sqrt{2}$OE=150$\sqrt{2}$m．
（2）如图2，
设∠AOB=α，则AB2=OB2+OA2-2OB×OA×cosα=50000-40000cosα，
又${S}_{△ABC}\frac{1}{2}A{C}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}A{B}^{2}$=12500-10000cosα，又${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}OA×OBsinα$=$\frac{1}{2}$×200×100sinα=10000sinα，
∴S四边形OACB=S△ABC+S△AOB=12500-10000cosα+10000sinα=10000（sinα-cosα）+12500=10000$\sqrt{2}$sin（$α-\frac{π}{4}$）+12500，
∴当sin（$α-\frac{π}{4}$）=1，即$α=\frac{3π}{4}$时，四边形OACB面积最大为（10000$\sqrt{2}$+12500）m2．
点评 本题考查了余弦定理以及三角形的面积公式结合的面积最值求法，关键是建立关系式，借助于三角函数的有界性求最值．
名校课堂系列答案| A． | （1，$\frac{5}{4}$） | B． | （1，$\frac{5}{3}$） | C． | [1，$\frac{5}{4}$） | D． | [1，$\frac{5}{3}$） |
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