题目内容
【题目】已知椭圆C:1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P(﹣1,
)在椭圆C上,且|PF2|
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点F2的直线l与椭圆C交于A,B两点,M为线段AB的中点,若椭圆C上存在点N,满足3
(O为坐标原点),求直线l的方程.
【答案】(1).(2)x
y﹣1=0或x
y﹣1=0.
【解析】
(1)根据题意得①,
②,
③,由①②③组成方程组,解得
,
,进而得椭圆
的方程.
(2)设直线的方程为
,
,
,
,
,联立直线
与椭圆
的方程得关于
的一元二次方程,结合韦达定理得
,
,从而得线段
中点
坐标,点
的坐标,将其代入椭圆方程,可解得
,进而得出直线
的方程.
解:(1)因为点在椭圆
上,且
.
所以,①
,解得
,②
又因为③
由①②③组成方程组,解得,
,
所以椭圆的方程为:
.
(2)由(1)可知,
设直线的方程为
,
,
,
,
,
联立直线与椭圆
的方程得
,
得,则
,
所以线段中点
,
,
所以,
,
所以点的坐标为
,
,
将点坐标代入椭圆的方程
,
解得,
,
所以直线的方程为:
或
.
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