题目内容

【题目】设[x]表示不超过x的最大整数,如:[π]=3,[﹣4.3]=﹣5.给出下列命题: ①对任意实数x,都有[x]﹣x≤0;
②若x1≤x2 , 则[x1]≤[x2];
③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]=90;
④若函数f(x)= ,则y=[f(x)]+[f(﹣x)]的值域为{﹣1,0}.
其中所有真命题的序号是

【答案】①②④
【解析】解:对于①,对任意实数x,都有[x]﹣x≤0,满足新定义∴①正确.

对于②,x1≤x2,则[x1]≤[x2],∴②正确.

对于③,[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg100]

=0+1×90+2=92,∴③不正确.

对于④,函数f(x)= =

同理可得,f(﹣x)∈(﹣ ),

当f(x)∈ 时,f(﹣x)∈(0, ),∴[f(x)]=﹣1,[f(﹣x)]=0,

∴[f(x)]+[f(﹣x)]=﹣1,

同理当f(﹣x)∈ 时,f(x)∈(0, ),∴[f(x)]=0,[f(﹣x)]=﹣1,

∴[f(x)]+[f(﹣x)]=﹣1,

当f(x)=0时,f(﹣x)=0,∴[f(x)]=0,[f(﹣x)]=0,

∴[f(x)]+[f(﹣x)]=0,

综上,y=[f(x)]+[f(﹣x)]={﹣1,0}

∴④正确.

所以答案是:①②④.

【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识,掌握两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

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