Question

【题目】设函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|，x∈R，不等式f（x）≤6的解集为M．
（1）求M；
（2）当a，b∈M时，证明：3|a+b|≤|ab+9|．

Answer 1

【答案】
（1）解：不等式即|x+2|+|x﹣2|≤6，

而|x+2|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣2、2对应点的距离之和，

﹣3和3对应点到﹣2、2对应点的距离之和正好等于6，

故不等式的解集为M=[﹣3，3]

（2）解：要证3|a+b|≤|ab+9|，只要证9（a+b）2≤（ab+9）2，

即证：9（a+b）2﹣（ab+9）2=9（a2+b2+2ab）﹣（a2b2+18ab+81）=9a2+9b2﹣a2b2﹣81=（a2﹣9）（9﹣b2）≤0，

而由a，b∈M，可得﹣3≤a≤3，﹣3≤b≤3，

∴（a2﹣9）≤0，（9﹣b2）≥0，∴（a2﹣9）（9﹣b2）≤0成立，

故要证的不等式3|a+b|≤|ab+9|成立

【解析】（1）由条件利用绝对值的意义求出不等式f（x）≤6的解集M．（2）用分析法证明此不等式，分析使此不等式成立的充分条件为（a2﹣9）（9﹣b2）≤0，而由条件a，b∈M可得（a2﹣9）（9﹣b2）≤0成立，从而证得要证的不等式．
【考点精析】认真审题，首先需要了解绝对值不等式的解法(含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号)．