Question

1．如图，是函数y=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）试求此函数的解析式．
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）求函数f（x）图象的对称轴的方程和对称中心的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出函数的周期，求出ω，利用图象求出A，k，然后通过函数图象经过的特殊点求出φ即可．
（2）由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间．
（3）由2x+$\frac{π}{3}$=kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数f（x）图象的对称轴的方程，由2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z可解得函数f（x）图象的对称中心坐标．

解答 解：（1）由函数的图象可知：A=3，k=0，T=2×（$\frac{π}{12}+\frac{5π}{12}$）=π，所以ω=$\frac{2π}{T}$=2，
因为函数的图象经过（$\frac{π}{12}$，3），
所以3=3sin（2×$\frac{π}{12}$+φ），即1=sin（$\frac{π}{6}$+φ），
可解得：φ=2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
因为|φ|＜$\frac{π}{2}$，所以φ=$\frac{π}{3}$，
故此函数的解析式为：y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{5π}{12}$，k$π+\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（3）由2x+$\frac{π}{3}$=kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数f（x）图象的对称轴的方程为：x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$，k∈Z．
由2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z可解得函数f（x）图象的对称中心坐标为：（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，0）．

点评 本题考查三角函数的解析式的求法，考查了正弦函数的图象和性质，注意函数的图象的应用，考查分析问题解决问题的能力．