题目内容
【题目】设为坐标原点,动点
在圆
上,过
作
轴的垂线,垂足为
,点
满足
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)直线上的点
满足
.过点
作直线
垂直于线段
交
于点
.
(ⅰ)证明:恒过定点;
(ⅱ)设线段交
于点
,求四边形
的面积.
【答案】(1)(2)(ⅰ)证明见解析;(ⅱ)
.
【解析】
(1)设,则
,根据向量关系坐标化可得
,消去
可得轨迹
的方程;
(2)(ⅰ)设,根据直线垂直,向量的数量积为0可得:
,设直线
方程为
,化简即可得到直线过定点坐标;
(ⅱ)根据直线与圆相交的弦长公式求出,
,再根据对角线相乘的半,求得四边形的面积.
(1)设,则
∵,又
,
,
∴
又,∴
,化简得点
的轨迹
方程为
(2)(ⅰ)设,
∵,∴
又,∴
①
又直线过点
且垂直于线段
,故设直线
方程为
化简得,又由①式可得
,所以
恒过定点
(ⅱ)直线为
,交圆
于
两点
则圆心到直线的距离为,
∴弦长,
又直线为
,由
得
,
故,
∴,即四边形
的面积

【题目】为了调查某社区居民每天参加健身的时间,某机构在该社区随机采访男性、女性各50名,其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”,否则称其为"非健身族”,调查结果如下:
健身族 | 非健身族 | 合计 | |
男性 | 40 | 10 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合计 | 70 | 30 | 100 |
(1)若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟,则称该社区为“健身社区”. 已知被随机采访的男性健身族,男性非健身族,女性健身族,女性非健身族每人每天的平均健分时间分別是1.2小时,0.8小时,1.5小时,0.7小时,试估计该社区可否称为“健身社区”?
(2)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关?
参考公式: ,其中
.
参考数据:
0. 50 | 0. 40 | 0. 25 | 0. 05 | 0. 025 | 0. 010 | |
0. 455 | 0. 708 | 1. 321 | 3. 840 | 5. 024 | 6. 635 |
【题目】某省即将实行新高考,不再实行文理分科.某校为了研究数学成绩优秀是否对选择物理有影响,对该校2018级的1000名学生进行调查,收集到相关数据如下:
(1)根据以上提供的信息,完成列联表,并完善等高条形图;
选物理 | 不选物理 | 总计 | |
数学成绩优秀 | |||
数学成绩不优秀 | 260 | ||
总计 | 600 | 1000 |
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关?
附:
临界值表:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |