题目内容
【题目】已知抛物线,过
的直线与抛物线
相交于
两点.
(1)若点是点
关于坐标原点
的对称点,求
面积的最小值;
(2)是否存在垂直于轴的直线
,使得
被以
为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出
的方程和定值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)存在,直线
的方程为
;定值为
【解析】
(1)设,
,直线
的方程为
,联立直线的方程与抛物线的方程消元,然后韦达定理可得
,
,然后
,用
将
表示出来即可.
(2)假设满足条件的直线存在,其方程为
,则以
为直径的圆的方程为
,将直线方程
代入,得
,然后将
表示出来即可.
(1)依题意,点的坐标为
,可设
,
,
直线的方程为
,与
联立得
.
由韦达定理得:,
,
于是,
所以当时,
面积最小值,最小值为
.
(2)假设满足条件的直线存在,其方程为
,
则以为直径的圆的方程为
,
将直线方程代入,得
,
则.
设直线与以
为直径的圆的交点为
,
,
则,
,于是有
.
当,即
时,
为定值.
故满足条件的直线存在,其方程为
.
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