Question

4．圆C满足：①圆心C在射线y=2x（x＞0）上；    
②与x轴相切；  
③被直线y=x+2截得的线段长为$\sqrt{14}$
（1）求圆C的方程；
（2）过直线x+y+3=0上一点P作圆C的切线，设切点为E、F，求四边形PECF面积的最小值，并求此时$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的值．

Answer 1

分析 （1）圆心C的坐标为（a，2a）（a＞0），半径为r，利用条件建立方程组，即可求圆C的方程；
（2）四边形PECF的面积取最小值时，|PC|最小，从而可求$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的值．

解答 解：（1）圆心C的坐标为（a，2a）（a＞0），半径为r．
则有$\left\{\begin{array}{l}{r=2a}\\{{r}^{2}=（\frac{\sqrt{14}}{2}）^{2}+（\frac{a-2a+2}{\sqrt{2}}）^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{r=2}\end{array}}\right.$…（4分）
∴圆C的方程为（x-1）²+（y-2）²=4…（5分）
（2）由切线的性质知：四边形PECF的面积S=|PE|•r=r$\sqrt{|PC{|^2}-{r^2}}$=$2\sqrt{|PC{|^2}-4}$
∴四边形PECF的面积取最小值时，|PC|最小，…（8分）
即为圆心C（1，2）到直线x+y+3=0的距离d=3$\sqrt{2}$．
∴|PC|最小为$3\sqrt{2}$
∴四边形PEMF的面积S的最小值为$2\sqrt{14}$…（10分）
此时|$\overrightarrow{PE}$|=|$\overrightarrow{PF}$|=$\sqrt{14}$，设∠CPE=∠CPF=α，则$sinα=\frac{r}{|PC|}=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$…（11分）
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=|$\overrightarrow{PE}$|²cos2α=|$\overrightarrow{PE}$|² （1-2sin²α）=$\sqrt{14}（1-2{（\frac{{\sqrt{2}}}{3}）^2}）=\frac{{5\sqrt{14}}}{9}$…（12分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．