Question

16．设0≤x≤2，求函数y=9${\;}^{（x-\frac{1}{2}）}$-3^（x+1）+$\frac{31}{4}$的最大值、最小值，并求取得最值时的x的值．

Answer 1

分析 化简可得y=9^（x-^{$\frac{1}{2}$）}-3^（x+1）+$\frac{31}{4}$=$\frac{1}{3}$（3^x-$\frac{9}{2}$）²+1，从而求函数的最值．

解答 解：y=9^（x-^{$\frac{1}{2}$）}-3^（x+1）+$\frac{31}{4}$
=$\frac{1}{3}$（3^x）²-3•3^x+$\frac{31}{4}$
=$\frac{1}{3}$（3^x-$\frac{9}{2}$）²-$\frac{1}{3}$•$\frac{81}{4}$+$\frac{31}{4}$
=$\frac{1}{3}$（3^x-$\frac{9}{2}$）²+1，
∵0≤x≤2，∴1≤3^x≤9，
∴当3^x=$\frac{9}{2}$，即x=2-log₃2时，
y有最小值为1；
当3^x=9，即x=2时，
y有最大值为$\frac{31}{4}$．

点评 本题考查了配方法求函数的最值的方法与应用，同时考查了指数的运算．