Question

在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A₁、A₂，上、下顶点分别为B₁、B₂．设直线A₁B₁的倾斜角的正弦值为

1

3

，圆C与以线段OA₂为直径的圆关于直线A₁B₁对称．

（1）求椭圆E的离心率；
（2）判断直线A₁B₁与圆C的位置关系，并说明理由；
（3）若圆C的面积为π，求圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）设椭圆E的焦距为2c（c＞0），因为直线A₁B₁的倾斜角的正弦值为

1

3

，所以

b

a2+b2

=

1

3

，由此能求出椭圆E的离心率．
（2）由e=

14

4

，设a=4k（k＞0），c=

14

k，则b=

2

k，于是A₁B₁的方程为：x-2

2

y+4k=0，故OA₂的中点（2k，0）到A₁B₁的距离d=

|2k+4k|

3

=2k，由此能够证明直线A₁B₁与圆C相切．
（3）由圆C的面积为π知圆半径为1，从而k=

1

2

，设OA₂的中点（1，0）关于直线A₁B₁：x-2

2

y+2=0的对称点为（m，n），则

n m-1 • 2 4 =-1 m+1 2 -2 2 • n 2 +2=0

，由此能求出圆C的方程．

解答：解：（1）设椭圆E的焦距为2c（c＞0），
因为直线A₁B₁的倾斜角的正弦值为

1

3

，所以

b

a2+b2

=

1

3

，
于是a²=8b²，即a²=8（a²-c²），所以椭圆E的离心率e=

c2 a2

=

7 8

=

14

4

．（4分）
（2）由e=

14

4

可设a=4k（k＞0），c=

14

k，则b=

2

k，
于是A₁B₁的方程为：x-2

2

y+4k=0，
故OA₂的中点（2k，0）到A₁B₁的距离d=

|2k+4k|

3

=2k，（6分）
又以OA₂为直径的圆的半径r=2k，即有d=r，
所以直线A₁B₁与圆C相切．（8分）
（3）由圆C的面积为π知圆半径为1，从而k=

1

2

，（10分）
设OA₂的中点（1，0）关于直线A₁B₁：x-2

2

y+2=0的对称点为（m，n），
则

n m-1 • 2 4 =-1 m+1 2 -2 2 • n 2 +2=0

（12分）
解得m=

1

3

，n=

4 2

3

．所以，圆C的方程为(x-

1

3

)2+(y-

4 2

3

)2=1（14分）

点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．