题目内容
已知矩形纸片ABCD中,AB=6cm,AD=12cm,将矩形纸片的右下角折起,使该角的顶点B落在矩形的边AD上,且折痕MN的两端点M、N分别位于边AB、BC上,设∠MNB=θ,MN=l.
(1)试将l表示成θ的函数;
(2)求l的最小值.
(1)试将l表示成θ的函数;
(2)求l的最小值.
(Ⅰ)由题设,如图所示,△NBM≌△NEM,∠MNB=θ,MN=l,
∴∠AEM=90°-2θ,则MB=lsinθ,AM=l•sinθsin(90°-2θ),
由题设得:AM+MB=lsinθ+l•sinθsin(90°-2θ)=6,
从而得l=
,
即:l=
,l=
由
得:
≤θ≤
,
故:l表示成θ的函数为:l=
,(
≤θ≤
).
(Ⅱ)设:sinθ=t则u=t(1-t2)=t-t3,即u=t-t3,
≤θ≤
,u′=1-3t2令u′=0,得t=
当t<
时,
u′>0,当t>
时,u′<0,所以当t=
时,
u取到最大值:
-
=
,
∴l的最小值为
=
.
∴∠AEM=90°-2θ,则MB=lsinθ,AM=l•sinθsin(90°-2θ),
由题设得:AM+MB=lsinθ+l•sinθsin(90°-2θ)=6,
从而得l=
6 |
sinθ+sinθsin(90°-2θ) |
即:l=
6 |
sinθ+sinθcos2θ |
3 |
sinθ•cos2θ |
由
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π |
12 |
π |
4 |
故:l表示成θ的函数为:l=
3 |
sinθ•cos2θ |
π |
12 |
π |
4 |
(Ⅱ)设:sinθ=t则u=t(1-t2)=t-t3,即u=t-t3,
π |
12 |
π |
4 |
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3 |
| ||
3 |
u′>0,当t>
| ||
3 |
| ||
3 |
u取到最大值:
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3 |
1 |
3 |
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3 |
2
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9 |
∴l的最小值为
3 | ||||
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9
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