题目内容

如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=3,∠BAD=120°,E为BC上一动点(不与B重合),作EF⊥AB于F,FE的延长线交DC的延长线于点G,设BE=x,△DEF的面积为S.
(1)求证:△BEF△CEG;
(2)求用x表示S的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)当E运动到何处时,S有最大值,最大值是多少?
(1)证明:∵EF⊥AB,ABDC,∴EF⊥DG.∴∠BFG=∠G=90°.
又∵∠BEF=∠CEG,∴△BEF△CEG;
(2)由(1)得DG为△DEF中EF边上的高,设BE=x,
在Rt△BFE中,∠B=60°,EF=BEsinB=
3
2
x

在Rt△CEG中,CE=3-x,GC=(3-x)cos60°=
3-x
2
,∴DG=DC+GC=
11-x
2

S=
1
2
EF•DG=-
3
8
x2+
11
3
8
x
,(其中0<x≤3);
(3)∵a=-
3
8
<0
,对称轴x=
11
2
>3,∴当0<x≤3时,S随x的增大而增大,
所以,当x=3时,即E与C重合时,取最大值:Smax=3
3
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