题目内容
(本题满分12分)如图,现在要在一块半径为1 m,圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ,使点P在弧AB上,点Q在OA上,点M,N在OB上,设∠BOP=θ,MNPQ的面积为S.
(1)求S关于θ的函数关系式;
(2)求S的最大值及相应θ的值.
(本题满分12分)
(1)分别过点P、Q作PD⊥OB,QE⊥OB,垂足分别为D、E,则四 边形QEDP是矩形.
PD=sinθ,OD=cosθ.
在Rt△OEQ中,∠AOB=,
则OE=QE=PD…………………………………3分
所以MN=PQ=DE=OD-OE=cosθ-sinθ.
则S=MN×PD=(cosθ-sinθ)×sinθ
=sinθcosθ-sin2θ,θ∈(0,).……………………….3分
(2)S=sin2θ-(1-cos2θ)=sin2θ+cos2θ-=sin(2θ+)-……2分
因为0<θ<,所以<2θ+<,
所以<sin(2θ+)≤1. ………………………………………………………..2分
所以当2θ+=,即θ=时,S的值最大为 m2.
即S的最大值是 m2,相应θ的值是……………………………2分