题目内容

(本题满分12分)如图,现在要在一块半径为1 m,圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ,使点P在弧AB上,点QOA上,点MNOB上,设∠BOPθMNPQ的面积为S.

(1)求S关于θ的函数关系式;

(2)求S的最大值及相应θ的值.

(本题满分12分)

(1)分别过点PQPDOBQEOB,垂足分别为DE,则四             边形QEDP是矩形.

PD=sinθOD=cosθ.

在Rt△OEQ中,∠AOB=,

OEQEPD…………………………………3分

所以MNPQDEODOE=cosθ-sinθ.

SMN×PD=(cosθ-sinθ)×sinθ

=sinθcosθ-sin2θθ∈(0,).……………………….3分

(2)S=sin2θ-(1-cos2θ)=sin2θ+cos2θ-=sin(2θ+)-……2分

因为0<θ<,所以<2θ+<,

所以<sin(2θ+)≤1. ………………………………………………………..2分

所以当2θ+=,即θ=时,S的值最大为 m2.

S的最大值是 m2,相应θ的值是……………………………2分

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