Question

已知y=f（x）=xlnx．
（1）求函数y=f（x）的图象在x=e处的切线方程；
（2）设实数a＞0，求函数F(x)=

f(x)

a

在[a，2a]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=e处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）先求出F（x）的导数，根据F′（x）＞0求得的区间是单调增区间，F′（x）＜0求得的区间是单调减区间，求出极值，再比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值即可．

解答：解：（1）∵f（x）定义域为（0，+∞）f′（x）=lnx+1
∵f（e）=e又∵k=f′（e）=2
∴函数y=f（x）的在x=e处的切线方程为：y=2（x-e）+e，即y=2x-e
（2）F′(x)=

1

a

(lnx+1)令F′（x）=0得x=

1

e

当x∈(0，  

1

e

)，F′（x）＜0，F（x）单调递减，
当x∈(

1

e

， +∞)，F′（x）＞0，F（x）单调递增．
∴F（x）在[a，2a]上的最大值F_max（x）=max{F（a），F（2a）}
∵F（a）-F（2a）=lna-2ln2a=ln

1

4a

∴当0＜a≤

1

4

时，F（a）-F（2a）≥0，F_max（x）=F（a）=lna
当a＞

1

4

时，F（a）-F（2a）＜0，F_max（x）=F（2a）=2ln2a．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查运算求解能力．