Question

9．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1-a_n=2a_na_n+1（n≥2且n∈N）．
（1）求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）若数列{c_n}满足c_n=a_n•a_n+1，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：$\frac{1}{3}≤{T}_{n}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）直接利用递推关系式，整理出$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=-2$，进一步求出数列的通项公式．
（2）利用（1）的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．
（3）利用（1）的结论，直接对数列的通项公式进行恒等变换，再利用裂项相消法和放缩法求出结果．

解答 证明：（1）数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1-a_n=2a_na_n+1（n≥2且n∈N）．
则：$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}=2$，
所以：$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=-2$，
则：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{{a}_{1}}$=1为首项，-2为公差的等差数列．
所以：$\frac{1}{{a}_{n}}=1-2（n-1）$=3-2n，
解得：${a}_{n}=\frac{1}{3-2n}$．
解：（2）数列{b_n}满足b_n=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$，
则：${b}_{n}=（3-2n）•{2}^{n}$
所以：S_n=b₁+b₂+…+b_n
S_n=1•2¹+（-1）•2²+（-3）•2³+…+（5-2n）•2^n-1+（3-2n）•2ⁿ①
所以：2S_n=1•2²+（-1）•2³+…+（5-2n）•2ⁿ+（3-2n）•2ⁿ⁺¹②
则：①-②得：
-S_n=（-2）（2¹+2²+…+2ⁿ）+6-（3-2n）•2ⁿ⁺¹
整理得：${S}_{n}=4•（{2}^{n}-1）-6+（3-2n）•{2}^{n+1}$
=（10-4n）•2ⁿ-10
证明：（3）由于：${a}_{n}=\frac{1}{3-2n}$，
则：${a}_{n+1}=\frac{1}{1-2n}$，
数列{c_n}满足c_n=a_n•a_n+1，
${c}_{n}=\frac{1}{（2n-1）（2n-3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}$）
数列{c_n}的前n项和为T_n，
T_n=$\frac{1}{2}$（-1-1+1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$$-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}$）
=$\frac{1}{2}（-1-\frac{1}{2n-1}）$$＜-\frac{1}{2}$
所以：${T}_{n}＜-\frac{1}{2}$

点评 本题考查的知识要点：数列通项公式的求法，乘公比错位相减法的应用，裂项相消法的应用，放缩法的应用．主要考查学生的应用能力．