Question

19．已知函数f（x）=ax³-3x²+b（1＜a＜2）只有两个零点，则实数log_a2+log_b2的最小值是（　　）

• A． $-\sqrt{2}$
• B． $\frac{3}{2}$$-\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\frac{3}{2}$$+\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意求导f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-$\frac{2}{a}$），从而可得f（$\frac{2}{a}$）=0，从而可得2log₂a+log₂b=2，化简log_a2+log_b2═1+$\frac{1}{2}$+（$\frac{lo{g}_{2}a}{lo{g}_{2}b}$+$\frac{1}{2}$$\frac{lo{g}_{2}b}{lo{g}_{2}a}$）；再利用基本不等式即可．

解答 解：∵f（x）=ax³-3x²+b，
∴f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-$\frac{2}{a}$），
∴令f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-$\frac{2}{a}$）=0得，
x=0或x=$\frac{2}{a}$；
∵f（0）=b＞0，
故f（$\frac{2}{a}$）=0，
即a²b=4；
∴2log₂a+log₂b=2，
∴log_a2+log_b2=$\frac{1}{lo{g}_{2}a}$+$\frac{1}{lo{g}_{2}b}$
=（$\frac{1}{lo{g}_{2}a}$+$\frac{1}{lo{g}_{2}b}$）（log₂a+$\frac{1}{2}$log₂b）
=1+$\frac{1}{2}$+（$\frac{lo{g}_{2}a}{lo{g}_{2}b}$+$\frac{1}{2}$$\frac{lo{g}_{2}b}{lo{g}_{2}a}$）≥$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$；
（当且仅当$\frac{lo{g}_{2}a}{lo{g}_{2}b}$=$\frac{1}{2}$$\frac{lo{g}_{2}b}{lo{g}_{2}a}$，即log₂a=2-$\sqrt{2}$，log₂b=2$\sqrt{2}$-2时，等号成立）．
故选：D．

点评 本题考查了导数的综合应用及基本不等式的应用，属于基础题．