题目内容
已知函数.
(1)试问的值是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由;
(2)定义,其中,求;
(3)在(2)的条件下,令.若不等式对且恒成立,求实数的取值范围.
解析试题分析:(1)根据函数解析式的特点直接代入计算的值;(2)利用(1)中条件的条件,并注意到定义中第项与倒数第项的和这一条件,并利用倒序相加法即可求出的表达式,进而可以求出的值;(3)先利用和之间的关系求出数列的通项公式,然后在不等式中将与含的代数式进行分离,转化为恒成立的问题进行处理,最终利用导数或作差(商)法,通过利用数列的单调性求出的最小值,最终求出实数的取值范围.
试题解析:(1)的值为定值2.
证明如下:
.
(2)由(1)得.
令,则.
因为①,
所以②,
由①+②得,所以.
所以.
(3)由(2)得,所以.
因为当且时,
.
所以当且时,不等式恒成立.
设,则.
当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增.
因为,所以,
所以当且时,.
由,得,解得.
所以实数的取值范围是.
考点:函数、倒序相加法、导数
练习册系列答案
相关题目