题目内容
【题目】已知数列{an}中,a1=2,a2=3,an>0,且满足an+12﹣an=an+1+an2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设 ,求数列{bn}的前n项和Tn;
(3)设 (λ为正偶数,n∈N*),是否存在确定λ的值,使得对任意n∈N* , 有Cn+1>Cn恒成立,若存在,求出λ的值,若不存在,说明理由.
【答案】
(1)解:由已知可得, ,且an>0,
∴an+1﹣an=1(n∈N*),且a2﹣a1=1.
∴数列{an}是以a1=2为首项,公差为1的等差数列,
∴an=n+1
(2)解:由(1)知 ,
设它的前n项和为Tn
∴Tn=221+322+…+(n+1)2n,
2Tn=222+323+…+(n+1)2n+1,
两式相减可得:
所以
(3)解:∵an=n+1,∴ ,
要使Cn+1>Cn恒成立,
则 恒成立,
∴34n﹣λ2n+1>0恒成立,
∴λ<32n﹣1恒成立.
当且仅当n=1时,32n﹣1有最小值为3,∴λ<3.又λ为正偶数,则λ=2.
即存在λ=2,使得对任意n∈N*,都有Cn+1>Cn
【解析】(1)将条件化简可得an+1﹣an=1,再由等差数列的定义和通项公式,即可得到所求;(2)求得 ,再议数列的求和方法:错位相减法,结合等比数列的求和公式,计算即可得到所求和;(3)求得an=n+1,
,要使Cn+1>Cn恒成立,运用作差法,再由参数分离,求得右边的最小值即可得到所求范围.
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题.
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