Question

【题目】边长为1的菱形的两对角线交于,过作A2B2∥A1B1交于连结交于,过作A3B3∥A1B1交于,…,这样作下去得以为原点,所在直线为轴,建立平面直角坐标系,设以为半径,圆心在,轴上的一列圆依次相外切(即与外切,),若圆T1与抛物线相切.求证:所有的圆都与抛物线相切.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

如图,由题设知

猜测:

用数学归纳法证明

当时,显然成立.

假设时,有.

由三角形相似有及

此两式相加即证得.

由归纳法原理,知时,

设以为半径且圆心在y轴上的圆与相切的圆心坐标为.则由得.

再由其求得 ①

设以为半径的圆依次外切且圆心在y轴上时的圆心坐标为,其中.

则

从而,

即

又

故 ②

在式②中,令得个等式将这个等式及式①两边相加得

. ③

再由

有.

则由,再将③代入得这说明这些圆均与抛物线相切.