Question

【题目】已知函数y=f （x）= ．
（1）求函数f （x）的图象在x= 处的切线方程；
（2）求y=f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f （x）定义域为（0，+∞），∴f′（x）=

∵f （ ）=﹣e，∴切点为（ ，﹣e）又∵k=f′（ ）=2e2．

∴函数y=f （x）在x= 处的切线方程为：y+e=2e2（x﹣ ），

即y=2e2x﹣3e．

（2）解：令f′（x）=0得：x=e

当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f （x）为增函数；

当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f （x）为减函数．

∴fmax （x）=f （e）=

【解析】（1）先求函数的定义域，然后求出导函数f′（x），求出切点坐标以及f′（ ）即为切线的斜率，在根据点斜式求出切线方程，化成斜截式即可；（2）令f′（x）=0得：x=e，然后将定义域（0，+∞）分成两部分，分别研究函数在（0，e）与（e，+∞）上的导数符号，从而得到函数的单调性，从而求出最值．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．