Question

【题目】设f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（﹣2，0）∪（2，+∞）
【解析】解：设g（x）= ，则g（x）的导数为：
g′（x）= ，
∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＞0成立，
即当x＞0时，g′（x）＞0，
∴当x＞0时，函数g（x）为增函数，
又∵g（﹣x）= = = =g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
∴x＜0时，函数g（x）是减函数，
又∵g（﹣2）= =0=g（2），
∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x＞2，
x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（﹣2），解得：x＞﹣2，
∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣2，0）∪（2，+∞）．
故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．
构造函数g（x），利用g（x）的导数判断函数g（x）的单调性与奇偶性，求出不等式的解集即可．