题目内容

已知向量
a
=（cosωx，
3
sin（π-ωx）），
b
=（cosωx，sin（
π
2
+ωx）），（ω＞0），函数f（x）=2
a
•
b
+1的最小正周期为2．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，
1
2
]上的取值范围．
分析：（1）利用两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换化简函数的解析式为f（x）=2sin（ωx+
π
6
）+2，根据它的最小正周期等于2求出ω的值．
（2）根据x∈[0，
1
2
]，可得 πx+
π
6
∈[
π
6
，
2π
3
]，求出sin（πx+
π
6
）的范围，即可求得函数的值域．
解答：解：（1）函数f（x）=2
a
•
b
+1=2[cos2（ωx）+
3
sinωx•cosωx]+1
=2•
1+cos2ωx
2
+2•
3
2
sin2ωx+1=2sin（2ωx+
π
6
）+2，
由于它的最小正周期等于2，故有
2π
2ω
=2，∴ω=
π
2
，
故f（x）=2sin（ πx+
π
6
）．
（2）∵x∈[0，
1
2
]，∴πx+
π
6
∈[
π
6
，
2π
3
]，∴
1
2
≤sin（ πx+
π
6
）≤1，
∴3≤2sin（1+
π
6
）+2≤4，故函数的值域为[3，4]．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（cosα，1），
b
=（-2，sinα），α∈(π，
3π
2
)，且
a
⊥
b

（1）求sinα的值；
（2）求tan(α+
π
4
)的值．
已知向量
a
=（cos（-θ），sin（-θ）），
b
=(cos(
π
2
-θ)，sin(
π
2
-θ))．
（1）求证：
a
⊥
b
．
（2）若存在不等于0的实数k和t，使
x
=
a
+（t2+3）
b
，
y
=（-k
a
+t
b
），满足
x
⊥
y
，试求此时
k+t2
t
的最小值．
已知向量
a
=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量
b
=（
3
，1），b=(
3
，1)，
a
∥
b
，则θ=
 
．
已知向量
a
=（cosα，sinα），
b
=（sinβ，-cosβ），则|
a
+
b
|最大值为（　　）
已知向量
a
=（cosθ，sinθ），向量
b
=（2
2
，-1），则|3
a
-
b
|的最大值是
 
．

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