题目内容
【题目】已知函数f(x)=x+ (x>0)过点P(1,0)作曲线y=f(x)的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,设g(t)=|MN|,若对任意的正整数n,在区间[2,n+
]内,若存在m+1个数a1 , a2 , …am+1 , 使得不等式g(a1)+g(a2)+…g(am)<g(am+1),则m的最大值为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
【答案】B
【解析】解:设M、N两点的横坐标分别为x1、x2,
∵f′(x)=1﹣ ,
∴切线PM的方程为:y﹣(x1+ )=(1﹣
)(x﹣x1),
又∵切线PM过点P(1,0),∴有0﹣(x1+ )=(1﹣
)(1﹣x1),
即x12+2tx1﹣t=0,(1)
同理,由切线PN也过点P(1,0),得x22+2tx2﹣t=0.(2)
由(1)、(2),可得x1,x2是方程x2+2tx﹣t=0的两根,
∴x1+x2=﹣2t,x1x2=﹣t(*)|MN|=
= ,
把(*)式代入,得|MN|= ,
因此,函数g(t)的表达式为g(t)= ,t>0,
知g(t)在区间[2,n+ ]为增函数,
∴g(2)≤g(ai)≤g(n+ )(i=1,2,m+1),
则mg(2)≤g(a1)+g(a2)+…+g(am)≤mg(n+ ).
依题意,不等式mg(2)<g(n+ )对一切的正整数n恒成立,
m <
,
即m< 对一切的正整数n恒成立.
∵n+ ≥2
=16,∴
≥
=
,
∴m< .由于m为正整数,∴m≤6.
又当m=6时,存在a1=a2═am=2,am+1=16,对所有的n满足条件.
因此,m的最大值为6.
故选:B.
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