Question

17．设f（x）是定义在R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=-1，设P={x|-1＜f（x+t）＜3}，Q={x|f（x）＜-1}，若“x∈R“是“x∈Q“的充分不必要条件，则实数t的取值范围t≤-3．

Answer 1

分析 根据单调性得出不等式1＜f（x+t）＜3可以转化为：0＜x+t＜3，即-t＜x＜3-t，Q={x|f（x）＜-1}．Q={x|x＞3}．利用充分必要条件的定义判断转化．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=-1，
∴1＜f（x+t）＜3可以转化为：0＜x+t＜3，
即-t＜x＜3-t
∵Q={x|f（x）＜-1}．
∴Q={x|x＞3}．
∵“x∈P“是“x∈Q“的充分不必要条件
∴{x|-t＜x＜3-t}?{x|x＞3}．
即-t≥3，t≤-3
故答案为：t≤-3

点评 本题综合考查了函数的单调性，集合不等式，充分必要条件的定义，属于中档题，需要等价转化．