题目内容

12．已知函数y=loga（a-ax）（0＜a＜1）．
（1）求函数的定义域、值域；
（2）求函数的单调区间．

分析 （1）由对数函数的真数大于0求解x的取值集合求得函数的定义域，求出a-ax的范围，结合对数函数的单调性求得原函数值域；
（2）由内函数指数型函数为增函数，外函数对数函数为减函数，可得函数y=loga（a-ax）在定义域（1，+∞）上为减函数．

解答 解：（1）由a-ax＞0，得ax＜a，
∵0＜a＜1，∴x＞1，即函数y=loga（a-ax）的定义域为（1，+∞）；
由ax∈（0，a），得-ax∈（-a，0），∴a-ax∈（0，a）．
又0＜a＜1，
∴loga（a-ax）∈（1，+∞）；
（2）∵内函数t=a-ax（0＜a＜1）为定义域中的增函数，
且外函数g（t）=logat为减函数，
∴函数y=loga（a-ax）在定义域（1，+∞）上为减函数．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查了复合函数的值域，考查了指数函数与对数函数的单调性，是中档题．

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