题目内容
【题目】设函数.
(1)当时,证明:
;
(2)若关于的方程
有且只有一个实根,求实数
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2) 或
.
【解析】试题分析:
(1)当时,构造函数
,则
,则当
时,
单调递减,当
时,
单调递增.故
,据此可得
.
(2)构造函数,令 ,则
,分类讨论:
①当时,
,此时
有一个零点,
②当时,
或
,
当时,
有一个零点,
当时,
有一个零点,
当时,
有一个零点,
综上可知,当方程有且只有一个实根时,
的取值范围是
或
.
试题解析:
(1)当时,令
,
,
故当时,
,所以
单调递减,
当时,
,所以
单调递增.
故 ,
所以,所以
.
(2)令 ,
,
①当时,
,
与
在区间
上的情况如下:
,此时
有一个零点,
②当时,
或
,
当时,即
时,
与
在区间
上的情况如下:
所以极小值为,极大值为
,
由的图象可知
有一个零点,
当即
时,
与
在区间
上的情况如下:
所以函数的极小值为,极大值为
,
由的图象可知
有一个零点,
当,即
时,
为单调递减函数,由
的图象知
有一个零点,
综上可知,当方程有且只有一个实根时,
的取值范围是
或
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某电视台问政直播节目首场内容是“让交通更顺畅”.A、B、C、D四个管理部门的负责人接受问政,分别负责问政A、B、C、D四个管理部门的现场市民代表(每一名代表只参加一个部门的问政)人数的条形图如下.为了了解市民对武汉市实施“让交通更顺畅”几个月来的评价,对每位现场市民都进行了问卷调查,然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计,统计结果如下面表格所示:
满意 | 一般 | 不满意 | |
A部门 | 50% | 25% | 25% |
B部门 | 80% | 0 | 20% |
C部门 | 50% | 50% | 0 |
D部门 | 40% | 20% | 40% |
(1)若市民甲选择的是A部门,求甲的调查问卷被选中的概率;
(2)若想从调查问卷被选中且填写不满意的市民中再选出2人进行电视访谈,求这两人中至少有一人选择的是D部门的概率.