题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,四边形
为平行四边形,
,
平面
,
,
.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)由题意知为
,利用等腰三角形三线合一的思想得出
,由
平面
可得出
,再利用直线与平面垂直的判定定理可得出
平面
;
(2)以点为坐标原点,
、
所在直线分别为
轴、
轴建立空间直角坐标系,计算出平面
和平面
的法向量,然后利用空间向量法计算出二面角的余弦值.
(1)因为四边形是平行四边形,
,所以
为
的中点.
又,所以
.
因为平面
,
平面
,所以
.
又,
平面
,
平面
,故
平面
;
(2)因为,以
为原点建立空间直角坐标系如下图所示,
设,则
、
、
、
,
所以,
,
,
设平面的一个法向量为
,则
,所以
,
得,令
,则
,
,所以
.
同理可求得平面的一个法向量
,
所以.
又分析知,二面角的平面角为锐角,
所以二面角的余弦值为
.
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