题目内容
已知函数y=f（x）对任意的实数都有f（x+y）=f（x）•f（y）．（Ⅰ）记an=f（n）（n∈N*），Sn=
| n |
 |
| i=1 |
| 2Sn |
| an |
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设cn=
| (n+anbn)2+7-2n |
| n |
| m |
| 3 |
分析：（Ⅰ）根据数列与函数的关系，确定出数列{an}的通项公式即函数的解析式，利用数列{bn}与数列{an}的关系，根据数列{bn}为等比数列，寻找其前3项满足的关系式，通过求解方程求出a1的值；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中确定的数列{an}的通项公式，求出其前n项和表达式，进而确定出数列{bn}的通项公式，算出cn的表达式．利用cn的单调性确定出其最小值，进而确定出合题意的m．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中确定的数列{an}的通项公式，求出其前n项和表达式，进而确定出数列{bn}的通项公式，算出cn的表达式．利用cn的单调性确定出其最小值，进而确定出合题意的m．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x+y）=f（x）•f（y）对于任意的x∈R均成立，
∴f（n+1）=f（n）•f（1），即an+1=an•a1．
∴f（1）≠0，∴a1≠0，∴an≠0（n∈N*），
∴{an}是以a1为首项，a1为公比的等比数列，∴an=a1n．
当a1=1时，an=1，Sn=n，此时bn=2n+1，{bn}不是等比数列，
∴a1≠1．又{an}成等比数列，{bn}成等比数列，∴b22=b1b3．
∵b1=
+1=3，b2=
+1=
+1=
，b3=
+1=
，∴(
)2=
，解得a1=
．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，an=
，Sn=
=
(1-
)，
bn=
+1，∴anbn=2Sn+an=1-
+
=1．∴cn=
=n+
．
由cn+1-cn=1-
＞0，得n（n+1）＞8．
∵n∈N*，∴n≥3．
∵c1=9，c2=6，c3=
＜16，且当n≥4时，均有cn＞c3=
，
∴存在这样的m=16，能使对所有的∵n∈N*，有cn＞
成立．
∴f（n+1）=f（n）•f（1），即an+1=an•a1．
∴f（1）≠0，∴a1≠0，∴an≠0（n∈N*），
∴{an}是以a1为首项，a1为公比的等比数列，∴an=a1n．
当a1=1时，an=1，Sn=n，此时bn=2n+1，{bn}不是等比数列，
∴a1≠1．又{an}成等比数列，{bn}成等比数列，∴b22=b1b3．
∵b1=
| 2S1 |
| a1 |
| 2(a1+a2) |
| a2 |
2(a1+
| ||
|
| 3a1+2 |
| a1 |
2(a1+
| ||||
|
3
| ||
|
| 3a1+2 |
| 2 |
9
| ||
|
| 1 |
| 3 |
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，an=
| 1 |
| 3n |
| ||||
1-
|
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3n |
bn=
| 2Sn |
| an |
| 1 |
| 3n |
| 1 |
| 3n |
| (n+1)2+7-2n |
| n |
| 8 |
| n |
由cn+1-cn=1-
| 8 |
| n(n+1) |
∵n∈N*，∴n≥3．
∵c1=9，c2=6，c3=
| 17 |
| 3 |
| 17 |
| 3 |
∴存在这样的m=16，能使对所有的∵n∈N*，有cn＞
| m |
| 3 |
点评：本题是数列与函数的综合问题，考查学生分析问题与解决问题的能力，考查学生的转化与化归能力．考查学生对抽象函数求值问题的理解和认识、等比数列有关知识的理解和认识．考查学生的函数思想研究数列问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0 时，f（x）的图象如图所示，则不等式x[f（x）-f（-x）]≤0 的解集为
已知函数y=f（x）的图象如图，则满足