题目内容
【题目】设函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数在
时恒成立,求实数
的取值范围;
(3)若函数,求证:函数
的极大值小于1.
【答案】(1)见解析;(2)(3)见证明
【解析】
(1)先对函数求导,分别讨论和
,即可得出结果;
(2)先将函数在
时恒成立,转化为
在
上恒成立,再设
,
,利用导数方法求出
的最大值,即可得出结果;
(3)先由题意得到,对
求导,利用导数的方法研究其单调性,即可求出其极大值,得出结论.
解:(1)由于,
,
当时,
,
在
上单调递减;
当时,由
得
,由
得
;
所以在
上单调递减,
上单调递增.
(2)若在
上恒成立,
只需,
.
令,
,则
,
由得
,所以
,
随
的变化情况如下:
1 | |||
+ | 0 | - | |
极大值 |
所以,所以
.
(3)由题知,
,
令,
,
则函数在
上单调递减,
,
,
所以存在唯一的,
当时,
;当
时,
.
所以函数的单调递增区间是
,单调递减区间是
,
其中,所以函数
有极大值.
函数的极大值是
,由
,得
,
所以,因为
,所以
,即
,
所以的极大值小于1.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目
【题目】某校位同学的数学与英语成绩如下表所示:
学号 | ||||||||||
数学成绩 | ||||||||||
英语成绩 | ||||||||||
学号 | ||||||||||
数学成绩 | ||||||||||
英语成绩 |
将这位同学的两科成绩绘制成散点图如下:
(1)根据该校以往的经验,数学成绩与英语成绩
线性相关.已知这
名学生的数学平均成绩为
,英语平均成绩为
.考试结束后学校经过调查发现学号为
的
同学与学号为
的
同学(分别对应散点图中的
、
)在英语考试中作弊,故将两位同学的两科成绩取消,取消两位作弊同学的两科成绩后,求其余同学的数学成绩与英语成绩的平均数;
(2)取消两位作弊同学的两科成绩后,求数学成绩与英语成绩
的线性回归方程
,并据此估计本次英语考试学号为
的同学如果没有作弊的英语成绩(结果保留整数).
附:位同学的两科成绩的参考数据:
,
.
参考公式:,
.