Question

8．已知${（x+\frac{3}{{\root{3}{x}}}）^n}$的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．则展开式中所有的有理项的项数为3．

Answer 1

分析 根据题意求出n的值，再由二项式展开式的通项公式求出展开式中所有的有理项是什么．

解答 解：${（x+\frac{3}{{\root{3}{x}}}）^n}$的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64，
即$\frac{{4}^{n}}{{2}^{n}}$=2ⁿ=64，
解得n=6；
∴二项式${（x+\frac{3}{\root{3}{x}}）}^{6}$的展开式通项为
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•x^6-r•${（\frac{3}{\root{3}{x}}）}^{r}$=3^r•${C}_{6}^{r}$•${x}^{6-\frac{4}{3}r}$；
当r=0时，6-$\frac{4}{3}$r=6，是有理项，
当r=3时，6-$\frac{4}{3}$r=2，是有理项，
当r=6时，6-$\frac{4}{3}$r=-2，是有理项；
∴展开式中所有的有理项的项数为3．
故答案为：3．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题目．