题目内容
设函数f(θ)=sinθ+cosθ,其中,角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(x,y),且0≤θ≤π.
(1)若点P的坐标为,求f(θ)的值;
(2)若点P(x,y)为平面区域Ω:,上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求函数f(θ)的最小值和最大值.
(1)2;(2)0≤θ≤; f(θ)的最大值等于2 ,f(θ)最小值等于1.
解析试题分析:(1)由任意角三角函数的定义可得sinθ,cosθ,代入函数f(θ)=sinθ+cosθ,从而求出f(θ)的值.
(2)作出平面区域Ω(即三角区域ABC),如图所示,其点P在该平面区域内,连结OP,便可得角θ的范围.将f(θ)化一得: f(θ)=sinθ+cosθ=2sin(θ+).根据角θ的范围,结合正弦函数的图象的性质,便 可得f(θ)的范围.
试题解析:(1)由点P的坐标和三角函数的定义可得sinθ=,cosθ=.
于是f(θ)=sinθ+cos θ==2.
(2)作出平面区域Ω(即三角区域ABC)如图所示,其中A(1,0),B(1,1),C(0,1).
由图可得:0≤θ≤.
又f(θ)=sinθ+cosθ=2sin(θ+),且≤θ+≤,
故当θ+=,即θ=时,f(θ)取得最大值,且最大值等于2 ;
当θ+=,即θ=0时,f(θ)取得最小值,且最小值等于1.
考点:1、任意角三角函数的定义;2、二元不等式组表示的平面区域;3、三角函数的最值.
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