题目内容

已知函数f（x）=sinx+cosx．
（Ⅰ）若 $数学公式$ 的值；
（Ⅱ）求函数F（x）=f（x）•f（-x）+f²（x）的最大值和单调递增区间．

解：（Ⅰ）∵f（x）=sinx+cosx，∴f（-x）=cosx-sinx．…（1分）
又∵f（x）=2f（-x），
∴sinx+cosx=2（cosx-sinx）且cosx≠0 $\text{[math]}$ ．…（3分）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；…（6分）
（Ⅱ）由题知F（x）=cos²x-sin²x+1+2sinxcosx?F（x）=cos2x+sin2x+1 $\text{[math]}$ …（10分）
∴当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．…（11分）
由 $\text{[math]}$ 解得，单调递增区间为 $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（I）首先得出f（-x）=cosx-sinx，进而化简sinx+cosx=2（cosx-sinx）得出tanx的值，然后将所求式子中的“1”用sin²x+cos²x替换，再分子分母同时除以cos²x，即可求出结果；
（II）先求出F（x）=cos2x+sin2x+1= $\text{[math]}$ （2x+ $\text{[math]}$ ）+1，然后就可以求出最大值和单调区间．
点评：此题考查了三角函数的化简求值以及复合函数的单调性，熟练掌握公式是解题的关键，同时注意“1”和sin²x+cos²x的灵活转化，属于中档题．

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已知函数f（x）=ax+bsinx，当x=

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．
（1）求a，b的值；
（2）对任意x1，x2∈[-

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根据上图，试推测曲线S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程，并作适当的说明．

已知函数f（x）=x²-blnx在（1，2]是增函数，g（x）=x-b

在（0，1）为减函数．
（1）求b的值；
（2）设函数φ（x）=2ax-

是区间（0，1]上的增函数，且对于（0，1]内的任意两个变量s、t，f（s）≥?（t）恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=cos（ 2x+

）+sin²x．
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（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足2

，求△ABC的面积S．

（1）已知矩阵A=

a	2
1	b

有一个属于特征值1的特征向量

，
①求矩阵A；
②已知矩阵B=

1	-1
0	1

，点O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩阵AB的对应变换作用下所得到的△O'M'N'的面积．
（2）已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρco sθ+3=0．
①求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；
②设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的取值范围．
（3）已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若关于x的不等式f（x）≥a²-a在R上恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=

+xlnx，g（x）=x³-x²-x-1．
（1）如果存在x，x∈[0，2]，使得g（x）-g（x）≥M，求满足该不等式的最大整数M；
（2）如果对任意的s，t∈[

，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．