题目内容

19．设a，b都是正数，且点M（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$）在直线x+3y-4=0上，求3a+b的最小值．

分析 通过点在直线上，得到关系式，然后化简所求的表达式，通过基本不等式求解最值即可．

解答 解：a，b都是正数，且点M（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$）在直线x+3y-4=0上，
可得$\frac{1}{a}+\frac{3}{b}=4$，
3a+b=$\frac{1}{4}$（3a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{3}{b}）$=$\frac{1}{4}（3+3+\frac{b}{a}+\frac{9a}{b}）$≥$\frac{1}{4}（3+3+2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{9a}{b}}）$=3．当且仅当3a=b，即a=2，b=6时取等号．
3a+b的最小值为：3．

点评 本题考查利用基本不等式求解函数的最值，考查转化思想的应用以及计算能力．

练习册系列答案
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