Question

20．若椭圆$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的弦过点P（3，2），且被点P平分，求此弦所在直线的方程．

Answer 1

分析 设出弦的两个端点，然后利用点差法求得弦所在直线的斜率，然后利用直线方程的点斜式得答案．

解答 解：设弦的两个端点分别为：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{36}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{16}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{36}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{16}=1$．
两式作差得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{36}=-\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{16}$．
∵点P（3，2）是弦AB的中点，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{16}{36}•\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}=-\frac{4}{9}×\frac{6}{4}=-\frac{2}{3}$．
∴弦所在的直线方程为y-2=$-\frac{2}{3}$（x-3），即2x+3y-12=0．

点评 本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了利用“点差法”求中点弦所在的直线方程，是中档题．