Question

20．已知圆O：x²+y²=1与y轴的负、正半轴分别交于点F₁、F₂，垂直于y轴的直线m与二次函数y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$的图象交于不同的两点P，Q且$\overrightarrow{{F}_{1}P}•\overrightarrow{{F}_{2}Q}$=-5．
（1）判断直线m与圆O的位置关系；
（2）过点M（-3，0）作直线l与圆O交于A，B两点，设$\overrightarrow{MA}$=λ$\overrightarrow{MB}$，若λ∈[$\frac{3}{2}$，2]，求|$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设P（x₀，y₀），则Q（-x₀，y₀），得到x₀²-y₀²=4①，和y₀=$\frac{1}{4}$x₀²，②，构造方程组，解得即可，再根据直线和圆的位置关系即可判断，
（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，直线和圆的位置关系，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立方程组得$\left\{\begin{array}{l}{x=my-3}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得m²的范围，
根据韦达定理得到$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{6m}{1+{m}^{2}}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=\frac{8}{1+{m}^{2}}}\end{array}\right.$，根据基本不等式和函数的单调性求出$\frac{25}{6}$≤$\frac{9{m}^{2}}{2（1+{m}^{2}）}$≤$\frac{9}{2}$，再根据点与点的距离公式，即可求出m的范围．

解答 解：（1）由题意得到F₂（0，1），F₁（0，-1），
∵抛物线y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$关于y轴对称，
∴设P（x₀，y₀），则Q（-x₀，y₀），
∴$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（x₀，y₀+1），则$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$=（-x₀，y₀-1），
又且$\overrightarrow{{F}_{1}P}•\overrightarrow{{F}_{2}Q}$=-5．
∴-x₀²+y₀²-1=-5，
即x₀²-y₀²=4①，
又点P在抛物线上，
∴y₀=$\frac{1}{4}$x₀²，②，
联立①②易得y₀=2，
∴直线m的方程为：y=2，显然直线m与圆相离；
（2）由题意显然l的斜率存在，M（-3，0），
1°当直线l的斜率为0时，B（-1，0），A（1，0），$\overrightarrow{MA}$=（4，0），$\overrightarrow{MB}$=（2，0），
故$\overrightarrow{MA}$=2$\overrightarrow{MB}$，λ=2，满足条件，此时|$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$|=6，
2°当直线l的斜率为不为0时，设直线l的方程为：x=my-3，
并设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$\overrightarrow{MA}$=（3+x₁，y₁），$\overrightarrow{MB}$=（3+x₂，y₂），
∵$\overrightarrow{MA}$=λ$\overrightarrow{MB}$，
∴y₁=λy₂，
联立方程组得$\left\{\begin{array}{l}{x=my-3}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+m²）y²-6my+8=0，③
由△=36m²-32（1+m²）=4m²-32＞0，得m²＞8，
且y₁，y₂是方程③的两根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{6m}{1+{m}^{2}}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=\frac{8}{1+{m}^{2}}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（1+λ）{y}_{2}=\frac{6m}{1+{m}^{2}}}\\{λ{{y}_{2}}^{2}=\frac{8}{1+{m}^{2}}}\end{array}\right.$，
显然$λ{{y}_{2}}^{2}$≠0，
∴$\frac{（1+λ）^{2}}{λ}$=$\frac{9{m}^{2}}{2（1+{m}^{2}）}$，
∵$\frac{（1+λ）^{2}}{λ}$=λ+$\frac{1}{λ}$+2在λ∈[$\frac{3}{2}$，2]上是增函数，
∴$\frac{25}{6}$≤$\frac{（1+λ）^{2}}{λ}$=λ+$\frac{1}{λ}$+2≤$\frac{9}{2}$，
即$\frac{25}{6}$≤$\frac{9{m}^{2}}{2（1+{m}^{2}）}$≤$\frac{9}{2}$，
解得m²≥$\frac{25}{2}$，满足m²＞8，
∴m²≥$\frac{25}{2}$，
又$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$=（x₁+x₂+6，y₁+y₂）且x₁+x₂=m（y₁+y₂）-6，
∴$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$=（m（y₁+y₂），（y₁+y₂）），
∴|$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（1+{m}^{2}）\frac{36{m}^{2}}{（1+{m}^{2}）^{2}}}$=6$\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{{m}^{2}}}}$，
∵1＜1+$\frac{1}{{m}^{2}}$≤$\frac{27}{25}$，
∴$\frac{10\sqrt{3}}{3}$≤|$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$|＜6，
综上所述，|$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$|的取值范围[$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，6）．

点评 本题考查圆方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查分析解决问题的能力，属于中档题．