[题目]已知函数f(x)=excosx﹣x．在点处的切线方程,在区间[0. ]上的最大值和最小值．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知函数f（x）=excosx﹣x．（13分）
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0， ]上的最大值和最小值．

【答案】
（1）

解：函数f（x）=excosx﹣x的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，

可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0，

切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），

曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；

（2）

解：函数f（x）=excosx﹣x的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，

令g（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，

则g（x）的导数为g′（x）=ex（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2exsinx，

当x∈[0， ]，可得g′（x）=﹣2exsinx≤0，

即有g（x）在[0， ]递减，可得g（x）≤g（0）=0，

则f（x）在[0， ]递减，

即有函数f（x）在区间[0， ]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1；

最小值为f（）=e cos ﹣ =﹣ ．

【解析】（1.）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；
（2.）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0， ]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．

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