Question

【题目】已知函数f（xt）=xt2+bxt ．
（1）若b=2，且xt=log2t，t∈[ ，2]，求f（xt）的最大值；
（2）当y=f（xt）与y=f（f（xt））有相同的值域时，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数 ．b=2，且xt=log2t， ，

∴xt∈[﹣1，1]，

∴ ，对称轴为xt=﹣1，

可得xt∈[﹣1，1]的最大值为f（1）=3

（2）解： ，xt∈R

当 时， ，∴y=f（xt）的值域为 ，

∵

令u=f（xt），则

函数y=f（f（xt））即为：y=u2+bu，

若y=f（xt）与y=f（f（xt））有相同的值域，则等价于它们有相同的最小值

即满足：

所以：b∈（﹣∞，0]∪[2，+∞）

【解析】（1）利用已知条件，化简f（xt）的表达式，利用二次函数的最值求解最大值；（2）求出y=f（xt）与y=f（f（xt））的最小值，利用值域相同，列出不等式即可求b的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了函数的值域和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能正确解答此题．