Question

选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线C极坐标方程为ρ=2

2

sin(θ-

π

4

)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

（t为参数）．
求：（1）曲线C和直线l的普通方程；
（2）求直线l被曲线C所截得的弦长．

Answer 1

分析：曲线C的普通方程为：（x+1）²+（y-1）²=2，表示以C（-1，1）为圆心，半径为

2

的圆．直线l的普通方程为3x+4y+1=0．利用直线和圆的位置关系求解．

解答：解：（1）曲线C极坐标方程为ρ=2

2

sin(θ-

π

4

)，即ρ=2（sinθ-cosθ），
两边同乘以ρ，得ρ²=2（ρsinθ-ρcosθ），
化为普通方程为x²+y²=2y-2x，即（x+1）²+（y-1）²=2．
直线l的参数方程为

x=1+ 4 5 t     ① y=-1- 3 5 t      ②

①×3+②×4，消去t得
直线l的普通方程为：3x+4y+1=0．
（2）由（1），曲线C表示以C（-1，1）为圆心，半径为

2

的圆．
根据直线和圆的位置关系，圆心C到直线l的距离d=

2

5

，
直线l被曲线C所截得的弦长=2

r2-d2

=

2 46

5

．

点评：本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，数形结合的思想．