题目内容
12.已知函数f(x)=-x3-x+sinx,不等式f(m+sinθ)+f(cos2θ)>0对任意θ∈(0,$\frac{π}{2}$)都成立,则实数m的取值范围(-∞,-$\frac{25}{12}$).分析 根据条件判断函数f(x)的奇偶性和单调性,将不等式转化,利用参数分离法,利用换元法求出函数的最值即可.
解答 解:∵f(x)=-x3-x+sinx,
∴f(-x)=x3+x-sinx=-(-x3-x+sinx)=-f(x),则f(x)为奇函数,
则不等式f(m+sinθ)+f(cos2θ)>0等价为f(m+sinθ)>-f(cos2θ)=f(-2cos2θ),
函数f′(x)=-x2-1+cosx≤0,则函数f(x)为减函数,
则不等式等价为m+sinθ<-2cos2θ对任意θ∈(0,$\frac{π}{2}$)都成立,
即m<-sinθ-2cos2θ,
设y=g(θ)=-sinθ-2cos2θ=-sinθ-2[1-2sin2θ]=4sin2θ-sinθ-2,
设t=sinθ,∵θ∈(0,$\frac{π}{2}$),∴t∈(0,1),
则函数等价为y=4t2-t-2,对称轴为t=-$\frac{-1}{2×4}$=$\frac{1}{8}$,
∴当t=$\frac{1}{8}$时,函数取得最小值为y=4×($\frac{1}{8}$)2-$\frac{1}{8}$-2=-$\frac{25}{12}$,
即m<-$\frac{25}{12}$,
故答案为:(-∞,-$\frac{25}{12}$).
点评 本题主要考查不等式恒成立问题,利用定义判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键.综合考查函数的性质.
练习册系列答案
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