题目内容
【题目】在四棱锥中,底面
是平行四边形,
,侧面
底面
,
,
,
分别为
的中点,点
在线段
上.
(Ⅰ)求证:直线平面
;
(Ⅱ)若为
的中点,求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值;
(Ⅲ)设,当
为何值时,直线
与平面
所成角的正弦值为
,求
的值.
【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ) (Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)因为,
,所以
,即
。又由题意可知
底面
,所以
,由线面垂直的判定定理即可得证。
(Ⅱ)分别以为
轴、
轴和
轴正方向建系,利用向量法能求出平面
与平面
所成锐二面角的余弦值。
(Ⅲ)由结合(2),可得
,
,又平面
,根据线面角的余弦值即可求解。
(Ⅰ)证明:在平行四边形中,因为
,
,所以
.
所以.
因为侧面底面
,且
,面
面
且面
所以
底面
.
又因为底面
,所以
.
又因为,
平面
,
平面
,
所以平面
(Ⅱ)解:因为底面
,
,所以
两两垂直,故以
分别为
轴、
轴和
轴,建立空间直角坐标系,
则,
设平面的法向量为
,
由,
,得
令,得
.
为
的中点,由(1)知,
平面
且
,
所以
,
平面与平面
所成锐二面角的余弦值
;
(Ⅲ)设,则
,所以
,
由(1)知.直线
与平面
所成的角正弦值为
所以,即
,
解得.或
(舍)
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查,张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量单位:万只
与相应年份
序号
的数据表和散点图
如图所示
,根据散点图,发现y与x有较强的线性相关关系,李四提供了该县山羊养殖场的个数
单位:个
关于x的回归方程
.
年份序号x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
年养殖山羊 |
根据表中的数据和所给统计量,求y关于x的线性回归方程
参考统计量:
,
;
试估计:
该县第一年养殖山羊多少万只
到第几年,该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了?
附:对于一组数据,
,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
.
【题目】某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况,随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的质量(单位:克),质量值落在(495,510]的产品为合格品,否则为不合格品.表是甲流水线样本频数分布表,图是乙流水线样本频率分布直方图.
表甲流水线样本频数分布表
产品质量/克 | 频数 |
(490,495] | 6 |
(495,500] | 8 |
(500,505] | 14 |
(505,510] | 8 |
(510,515] | 4 |
(1)若以频率作为概率,试估计从两条流水线分别任取1件产品,该产品恰好是合格品的概率分别是多少;
(2)由以上统计数据作出2×2列联表,并回答能否有95%的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”
χ2
甲流水线 | 乙流水线 | 总计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
总计 |
【题目】2019年4月,甲乙两校的学生参加了某考试机构举行的大联考,现从这两校参加考试的学生数学成绩在100分及以上的试卷中用系统抽样的方法各抽取了20份试卷,并将这40份试卷的得分制作成如下的茎叶图.
(1)试通过茎叶图比较这40份试卷的两校学生数学成绩的中位数;
(2)若把数学成绩不低于135分的记作数学成绩优秀,根据茎叶图中的数据,判断是否有90的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关;
(3)若从这40名学生中选取数学成绩在的学生,用分层抽样的方式从甲乙两校中抽取5人,再从这5人中随机抽取3人分析其失分原因,求这3人中恰有2人是乙校学生的概率.
参考公式与临界值表:,其中
.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |