Question

【题目】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系.曲线的参数方程为，（为参数），曲线的极坐标方程为，且与交单的横坐标为.

（1）求曲线的普通方程.

（2）设为曲线与轴的两个交点，为曲线上不同于的任意一点，若直线与分别与交于两点，求证：为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由消参后可得含参的普通方程，把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，由两曲线相交的交点横坐标求得，从而所求方程；

（2）不妨设为椭圆上顶点即，用参数方程设出点坐标，计算出的横坐标，计算即得．

（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为，可知它们的交点为，代入曲线的普通方程可求得，所以曲线的普通方程为.

（2）由（1）可知曲线为椭圆，不妨设为椭圆的上顶点，则的坐标为.则，

设，，，因此直线与分别与轴交于两点，

∴，，即，，∴，，

∴，因此为定值4.